AVL Tree

AVL 树介绍

AVL树是高度平衡的而二叉树。它的特点是:AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1。

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上面的两张图片,左边的是AVL树,它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1;而右边的不是AVL树,因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3,而以8为根节点的树的高度是1)。

AVL树的Java实现

1.定义

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public class AVLTree<T extends Comparable<T>> {
private AVLTreeNode<T> mRoot; // 根结点

// AVL树的节点(内部类)
class AVLTreeNode<T extends Comparable<T>> {
T key; // 关键字(键值)
int height; // 高度
AVLTreeNode<T> left; // 左孩子
AVLTreeNode<T> right; // 右孩子

public AVLTreeNode(T key, AVLTreeNode<T> left, AVLTreeNode<T> right) {
this.key = key;
this.left = left;
this.right = right;
this.height = 0;
}
}

......
}

AVLTree是AVL树对应的类,而AVLTreeNode是AVL树节点,它是AVLTree的内部类。AVLTree包含了AVL树的根节点,AVL树的基本操作也定义在AVL树中。AVLTreeNode包括的几个组成对象:

  • key – 是关键字,是用来对AVL树的节点进行排序的。
  • left – 是左孩子。
  • right – 是右孩子。
  • height – 是高度。

2. 树的高度

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/*
* 获取树的高度
*/
private int height(AVLTreeNode<T> tree) {
if (tree != null)
return tree.height;

return 0;
}

public int height() {
return height(mRoot);
}

关于高度,有的地方将"空二叉树的高度是-1",而本文采用维基百科上的定义:树的高度为最大层次。即空的二叉树的高度是0,非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1,根的子节点为第2层,依次类推)。

3. 比较大小

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/*
* 比较两个值的大小
*/
private int max(int a, int b) {
return a>b ? a : b;
}

旋转

如果在AVL树中进行插入或删除节点后,可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态:LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图:

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上图中的4棵树都是"失去平衡的AVL树",从左往右的情况依次是:LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外,还有其它的失去平衡的AVL树,如下图:

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上面的两张图都是为了便于理解,而列举的关于"失去平衡的AVL树"的例子。总的来说,AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一,它们都由各自的定义:

(01)LL:LeftLeft,也称为"左左"。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的左子树还有非空子节点,导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面LL情况中,由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点",而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点";导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)“高2。
(02)LR:LeftRight,也称为"左右”。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的右子树还有非空子节点,导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面LR情况中,由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点",而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点";导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)“高2。
(03)RL:RightLeft,称为"右左”。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的左子树还有非空子节点,导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面RL情况中,由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点",而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点";导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)“高2。
(04)RR:RightRight,称为"右右”。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的右子树还有非空子节点,导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面RR情况中,由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点",而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点";导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。

如果在AVL树中进行插入或删除节点后,可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后,可以通过旋转使其恢复平衡,下面分别介绍"LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)"这4种情况对应的旋转方法。